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Matemática 6°ano

1TRIMESTRE

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA

Lembre-se de que apesar de estar em casa, o compromisso, a
organização e a dedicação com os estudos são muito importantes.

Tenha um ótimo estudo!

1º) Considerando o número 78.456.320, responda às perguntas:
a) Quantas classes há nesse número?
b) Quantas ordens há nesse número?
c) Qual o algarismo das centenas de milhar?
d) Qual é o nome da ordem ocupada pelo algarismo 7?
e) e) Qual é o nome da ordem ocupada pelo algarismo 0?
f) f) Qual é o nome da classe ocupada pelos algarismos 78?
g) g) Quantas dezenas há nesse número?
2º) Determine o valor posicional do algarismo 3 nos seguintes números:
a) 3.765
b) 32.000.000
c) 53.200.000.000
d) 890.123.000
3º) Com os algarismos 2, 3 e 5 represente:
a) o menor número de três algarismos;
b) o menor número de três algarismos distintos;
c) o menor de três algarismos diferentes que termina em 3.

4º) Seguindo as pistas, descubra que número representa cada questão abaixo:
a) Pistas:
O algarismo das unidades é 1;
O algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades;
O algarismo das centenas é o dobro do algarismo das dezenas;
O algarismo dos milhares é o dobro do algarismo das centenas.
b) Pistas:
As duas primeiras ordens trazem zeros;
O algarismo das centenas é 4;
O algarismo 7 tem valor posicional 7.000;
O algarismo de maior valor é 2;
É um número com 5 algarismos.
5º) Determine:
a) o antecessor do antecessor de 1.201;
b) o sucessor do antecessor de 39;
c) o antecessor do sucessor de 3.200;
d) o sucessor do sucessor de 100.
6º) (UECE) Dado um número de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos,
colocando “1” à direita do número original. O novo número é (Assinale a opção correta.)
a) cem vezes o número original, mais um.
b) dez vezes o número original, mais um.
c) cem vezes o número original.
d) o número original, mais um.
7º) O IBGE apontou que a população de Goiás em 2008 era de 5.647.035 habitantes. Esse
número tem (Assinale a opção correta.)
a) 8 algarismos e 3 classes.
b) 8 algarismos e 4 classes.
c) 7 algarismos e 3 classes.
d) 7 algarismos e 4 classes.
8º) (OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA-SP) No sistema decimal de numeração, um número
tem 3 classes e 7 ordens. Então, esse número tem: (Assinale a opção correta.)
a) 3 algarismos
b) 10 algarismos
c) 7 algarismos
d) Nenhuma das anteriores
9º) Usando os algarismos:




a) Escreva o menor número, sem repetir nenhum algarismo.
b) Escreve o maior número, sem repetir nenhum algarismo.

10º) Observe as ordens nas etiquetas e escreva cada número usando algarismos.




11º) Dona Lourdes acabou de lavar umas camisetas. Para pendurar 4 camisetas no varal, usou 5
prendedores de roupa. Quantos prendedores serão necessários para pendurar 18 camisetas?


12º) Na semi-reta abaixo, os pontos marcados estão todos à mesma distância uns dos outros.
Observe os números representados e determine o valor de A, B, C, D e E.

0------1------B------3------.------D------A------7------.------E------.------10------.------C--.------14-------N>

13º) Responda às perguntas:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural? Por quê?
c) Todo número natural tem sucessor?
d) Todo número natural tem antecessor?
14º) Escreva o número formado por:
a) Duas dezenas mais cinco unidades.
b) Cinco centenas mais oito dezenas mais quatro unidades.
c) Três dezenas de milhar mais seis unidades de milhar mais oito unidades.
d) Nove unidades de milhar mais nove dezenas.
15º) (OBMEP-2007) Um número par tem 10 algarismos e a soma desses algarismos é 89. Qual é o
algarismo das unidades desse número? (Assinale a opção correta e justifique sua resposta.)
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
16º) (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA) Qual dos números a seguir é ímpar?
(Assinale a opção correta, justificando sua resposta com os cálculos.)
a) 144 ÷ 36
b) 9 × 36
c) 37 – 23
d) 17 × 61
17º) (Olimpíada de Matemática-CE) Maria está fazendo uma lista dos números de três
algarismos, escritos com os algarismos 7, 8 e 9, sem repeti-los. Quantos números devem
aparecer na lista de Maria? E quais são eles?
18º) Complete a tabela a seguir:
ANTECESSOR
NÚMERO
SUCESSOR

385

699




3005

999

12982



19º) Observe a seqüência de multiplicações:



a) Escreva as duas próximas contas da seqüência. Dica: para descobrir os produtos, você
não precisa efetuar as multiplicações, basta perceber o padrão.
b) A última conta dessa seqüência de multiplicações é 12.345.679 × 81. Qual é seu resultado?

20º) Observe a seqüência de figura:


Continuando com esse padrão, quantos quadradinhos haverá na figura 6?

21º) (Olimpíada de Matemática-CE) João escreveu vários números de modo que, a partir terceiro,
cada um é a soma dos dois últimos números escritos antes. Os cinco primeiros números que ele
escreveu foram: 1, 3, 4, 7 e 11. O próximo número será (Assinale a opção correta 
justifique sua resposta.)



a) 17.
b) 19.
c) 20.
d) 18.

22º) Qual é a próxima figura dessa seqüência figurada? Assinale X na resposta certa.


23º) (CEETEPS-SP) Nas figuras, cada X representa uma árvore que está sendo cortada de forma
predatória, a cada dia, conforme a seqüência apresentada.
No sétimo dia, mantida a seqüência, o número de árvores cortadas será:



24º) Observe a seqüência de figuras:


Continuando com esse padrão, quantas bolinhas haverá na figura 8? Justifique sua
resposta.

25º) Verifique qual das figuras abaixo corresponde a um número triangular:




Agora, escreva a seqüência dos 20 primeiros números triangulares.

26º) Escreva por extenso os números abaixo:

a) 1.000.001
b) 2.703.000
a) 6.433.438.230
c) 120.001.001.001
d) 3.125.480
e) 15.845
f) 148.820.423.128
g) 156.568.789
h) 14.000.000

27º) Escreva os números abaixo utilizando algarismos:
a) Cento e oitenta e três milhões quinhentos e doze mil trezentos e seis.

b) Três milhões quarenta e três mil cento e sessenta e nove.
c) Oito bilhões seiscentos e vinte e um milhões.
d) Duzentos e doze trilhões oitenta e nove milhões cento e doze mil trezentos e Noventa
e) Oito quatrilhões e novecentos mil.

28º) Represente os números abaixo na forma decomposta, conforme o exemplo:


a) 25
b) 964
c) 4.552
d) 12.985
e) 188.302
f) 3.456.210
g) 12.860.154.890

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 3 TRIMESTRE



FraçõesNúmeros RacionaisConsideremos a operação 4:5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4.A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então, o conjunto dos Números Racionais.Número racional é todo aquele que é escrito na forma onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais:A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações.2 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieConceito de Fração:Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração. Veja:A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.Representamos, então, assim:Lemos: dois terços.O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR.O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.Leitura e Classificações das FraçõesNuma fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador.a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a sua leitura é feita do seguinte modo:3 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s).c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de 10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos".Frações Ordinárias e Frações DecimaisAs frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000 (potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras são chamadas Frações Ordinárias.Veja os exemplos na página seguinte:4 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieFrações PrópriasEssas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador.Frações Impróprias Observe as frações abaixo:5 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieAs frações acima representam inteiros. Elas são chamadas FraçõesAparentes. Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador.Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração imprópria é aparente.Frações Equivalentes/Classe de Equivalência.Observe as figuras:6 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieAs frações 2/3, 4/6 e 6/9 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes.Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).Exemplo:O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se CLASSE DE EQUIVALÊNCIA.Exemplo: Classe de equivalência deNúmeros Mistos Os números mistos são formados por uma parte inteira e uma fração própria.7 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieExtração de InteirosÉ o processo de transformação de fração imprópria em número misto. Observe a figura:Para transformar 5/4 em número misto, ou seja, para verificar quantas vezes 4/4 cabe em 5/4, procede-se assim:
54 =
É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador.É fácil, mas exige atenção e concentração ao realizarem-se os cálculos.Para “montar” a fração mista, é preciso entender quem é o numerador, o denominador, o quociente e o resto. Caso contrário, não será possível organizar o número misto.Se você possui o número misto, poderá transformá-lo em fração imprópria. Como fazer? É só realizar o caminho inverso. Veja na próxima página:8 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieTransformação de Números Mistos em Frações Impróprias.
Transformar o númerofração imprópria:
Observe o exemplo e a ilustração: Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.Resumidamente, procede-se assim:Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.Simplificação de FraçõesSimplificar uma fração significa transformá-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores.Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1). Veja o exemplo na página seguinte:9 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieExemplo:Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela éIRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.Redução de Frações ao mesmo DenominadorReduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador.Exemplo: As frações 1/2, 2/3 e 3/4 são equivalentes a 6/12, 8/12 e 9/12 respectivamente.Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos:1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será o menor denominador comum.2º-Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das frações dadas.10 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as frações:1 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieComparação de FraçõesComparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.Frações com o mesmo DenominadorObserve: Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.A fração 5/8 é maior que 3/8 que é maior que 1/8. Como posso ter certeza?É simples. Toda fração é uma divisão, portanto, basta dividirmos o numerador pelo denominador. A fração que apresentar o resultado maior será a maior!5/8 = 0,625 ; 3/8 = 0,375 ; 1/8 = 0,125 . Outra maneira de raciocinarmos seria entender que dividir 5 laranjas entre 8 pessoas será um número MAIOR de laranjas (neste caso pedaço de laranja) do que dividir 3 laranjas entre 8 pessoas e assim sucessivamente...12 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieFrações com o Mesmo Numerador Observe:Então: Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.
O numerador é a “parte de cima” da fraçãoO denominador é a “parte
de baixo” da fração. O numerador significa QUANTO temos para dividir. O denominador significa POR QUANTOS vamos dividir. Assim, a fração 3/16 significa que temos 3 litros de água para dividir IGUALMENTE entre 16 pessoas. O resultado desta divisão é a QUANTIDADE de água que cada pessoa receberá para saciar a sede.13 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieFrações com os Numeradores e Denominadores Diferentes Observe:Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as frações ao mesmo denominador.Exemplo:Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior14 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieAdição e Subtração de FraçõesA soma ou diferença de duas frações é outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos":1º) As Frações tem o mesmo Denominador.Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo:2º) As Frações tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se como no 1º caso.15 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série3º) Números Mistos.Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos 1º e 2º casos.Exemplo: + =Atenção:Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível.Multiplicação de FraçõesA multiplicação de duas ou mais frações é igual à outra fração, obtida da seguinte forma:O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetuá-la.16 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieExemplo:Divisão de Frações OrdináriasO quociente da divisão de duas frações é outra fração obtida da seguinte forma: 1º Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se: 1º-Transformar os números mistos em frações impróprias. 2º-Transformar os números inteiros em frações aparentes. 3º-Simplificar. 4º-Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 5º-Extrair os inteiros. Exemplo:17 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sériePartes Fracionárias de um Número Observe:Para determinar partes fracionárias de um número, devemos multiplicar a parte fracionária pelo número dado.Exercícios 1) Observando o desenho, escreva o que se pede:
a) O inteiro foi dividido empartes iguais.
b) As partes sombreadas representampartes desse inteiro.
c) A fração representada é:
18 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série2) Escreva as frações representadas pelos desenhos: 3) Represente com desenho as seguintes frações:
a) Frações próprias são frações cujo numerador éque o
b) Frações próprias representam quantidadesque a unidade.
c) Frações impróprias são frações cujo numerador éque o
d) Frações impróprias representam quantidadesque a unidade.
e) O numerador em uma fração é
f) O denominador é a parteda fração.
g) A fração que tem o denominador maior que o numerador éque a
4) Complete com a palavra correta: denominador. denominador. fração que possui o denominador maior que o numerador.19 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série5) Numa pizzaria, Mario comeu ½ de uma pizza e Camila comeu 2/4 da mesma pizza.
a) Quem comeu mais?
b) Quanto sobrou da pizza?
6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1. b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por um número misto. c) ( ) 1/3 é uma fração.7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:20 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou aparente:9) Circule as frações equivalentes a:10) Numere com 1 se a fração abaixo é ordinária; com 2 se a fração é decimal:
b) 3/85/16
c) 5/161/2
21 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série12) Transforme os números mistos em frações impróprias: 13) Extraia os inteiros das frações:14) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:2 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série15) Reduza as frações ao mesmo denominador:16) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:17) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais < ou > ou = :23 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série18) Circule a maior fração:19) Circule as frações menores do que um inteiro: 20) Observe as figuras e escreva as frações representadas:24 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série21) Numere a 2ª coluna de acordo com a fração equivalente na 1ª: 2) Torne as frações irredutíveis:23) Circule as frações irredutíveis:25 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série24) Determine a soma: 25) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:26) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo:26 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série27) Efetue as subtrações indicadas: 28) Resolva:27 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série29) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 5 ¾ metros?30) Calcule:28 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série31) Leia com atenção os problemas e resolva:b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3/5 deles. Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?29 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série30 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieNúmeros Decimais O que são números decimais?Normalmente, a resposta mais imediata para a questão é que “um número decimal é um número com vírgula”. No entanto, esta resposta além de curta está incorreta. Veja só, de acordo com a “resposta” teríamos de considerar que qualquer número com vírgula seria decimal, o que não é verdade (por exemplo, pi =3,141592654… seria número decimal).Para não termos dúvidas, antes de continuarmos, vamos rever a noção de número racional:Chama-se número racional a um número da forma n m , com m e n inteiros e n0≠. O número m diz-se o numerador da fração e n o denominador. Ao conjunto formado por estes números chama-se conjunto dos números racionais. Note-se que um número inteiro é também um número racional.No conjunto dos números racionais destaca-se um subconjunto representado por frações cujo denominador é uma potência de 10, designadas por frações decimais. Chama-se fração decimal a uma fração da forma na, onde a é um número inteiro e n um número natural.Sempre que for possível representar um número racional por uma fração decimal diz-se que esse número é decimal.Assim, o conjunto dos números decimais é um subconjunto dos números racionais. Veja na próxima página os exemplos:31 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série• 5 3é um racional decimal pois equivalente à fração decimal 10• 3 2não é um racional decimal pois não é conversível em fração decimal.Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10. Exemplos:As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal".Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.”32 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieEm um número decimal:Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal.Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe.2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo.Exemplos:a) 0,438 -Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,25 -Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 -Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos.Observações:1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à direita do último algarismo.3 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando- se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita.Exemplo: 34 = 34,0 1512 = 1512,0 Representação de racionais sob a forma de dízimasConsideremos o racional decimal 25Se dividirmos o numerador pelo denominador obtemos a representação decimal (ou dízima) correspondente.Nesta representação pode-se distinguir a parte inteira e a parte decimal.No número 1,24 a parte inteira é 1 e a parte decimal é 24. A cada uma das posições ocupadas pelos algarismos que constituem a parte decimal chama-se casa decimal.Consideremos agora os seguintes números racionais não decimais: 3As suas representações em dízima são as seguintes:1º Caso: 3
= 0, 3…= 0,(3)o período é
2º Caso: 7
= 0,5714285714… = 0,(571428)o período é
Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieNestes exemplos, as dízimas são infinitas, existindo um número ou um conjunto de números que se repetem indefinidamente. No 1º caso o número 3 e no 2º o conjunto dos números 571428. Ao número ou conjunto de números que se repete chama-se períodNo caso dos números irracionais as dízimas são por exemplo pi=3,141592654….1.1. Classificação das dízimas:Finitas DízimasInfinitas No caso dos números racionais temos:Decimais Números racionaisOs números decimais permitem qualquer número real. Desta forma, permitem números como se fossem números inteiros.Nestes exemplos, as dízimas são infinitas, existindo um número ou um conjunto de números que se repetem indefinidamente. No 1º caso o número 3 e no 2º o conjunto dos números 571428. Ao número ou conjunto de números que se o e as dízimas dizem-se infinitas periódicas.No caso dos números irracionais as dízimas são infinitas não periódicas =3,141592654….Classificação das dízimas:Periódicas Não periódicas No caso dos números racionais temos:Decimais - possuem dízima finitaNão decimais – possuem apenas uma dízima infinita periódica.Os números decimais permitem-nos aproximar tanto quanto quisermos número real. Desta forma, permitem-nos realizar cálculos com todos os números como se fossem números inteiros.Nestes exemplos, as dízimas são infinitas, existindo um número ou um conjunto de números que se repetem indefinidamente. No 1º caso o número 3 e no 2º o conjunto dos números 571428. Ao número ou conjunto de números que se infinitas periódicas.infinitas não periódicas, possuem apenas uma dízima infinita nos aproximar tanto quanto quisermos nos realizar cálculos com todos os35 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieTransformação de Fração Decimal em Número DecimalPara escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "NúmeroDecimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos:Transformação de Número Decimal em Fração DecimalPara se transformar um número decimal numa fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de ordens (casas) decimais.Veja os exemplos abaixo:Exemplos:36 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieOperações com Números DecimaisAdição e SubtraçãoPara adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem números naturais. Observações:Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo. Exemplos:No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplo:37 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieMultiplicaçãoPara multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma:1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem naturais; 2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores. Exemplos:
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, desloca-se a
vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos:Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator. Exemplo:38 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieDivisãoPara efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo:1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vírgulas; 3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.Atenção:Se a divisão não for exata, para continuá-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente.Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor.Exemplos:a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda. 47,235 /10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas ordens para a esquerda. 58,4 /100 = 0,58439 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieQuando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original.Exemplo:40 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieExercícios
a) Um inteiro e três décimos
b) Oito milésimos
c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos
d) Dezoito inteiros e cinco milésimos
e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos
1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:2) Represente em forma de números decimais: a) 97 centésimos = b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) 2 inteiros e 31 centésimos = d) 475 milésimos =3) Observe os números decimais e complete com os sinais:
a) 1,7892,1
b) 3,783,780
c) 4,31743,27
d) 42,0542,092
41 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações decimais:
a) 0,5 =f) 8,71 = ........................
b) 0,072 =g) 64,01 = .................
c) 0,08 =h) 347,28 = .................
d) 0,481 =i) 0,12 = ....................
e) 1,3 =j) 0,201 = ......................
5) Escreva na forma de fração decimal:6) Arme e efetue as adições:7) Arme e efetue as subtrações:Cálculos: Cálculos:42 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série9) Resolva:10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos parênteses:Cálculos: Cálculos:Cálculos:43 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série1) Arme e efetue as operações:a) 3,85 dez vezes maior = b) 42,6 dez vezes menor = c) 0,153 dez vezes maior = d) 149,2 cem vezes menor = e) 1,275 mil vezes maior =Cálculos: Cálculos:Cálculos:4 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série14) Resolva o problema:15) Relacione os elementos por igualdade:Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras: a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. b) Todos os elementos de A são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que 1. d) Todos os elementos de B são menores que 10.45 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª série a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso. ( ) 1 -Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. ( ) 2 -Todos os elementos de B são maiores que zero. ( ) 3 -Nenhum elemento de B é menor do que 1. ( ) 4 -Todos os elementos de A são maiores que 10.17) Arme e efetue as operações abaixo:18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:Cálculos: Cálculos:46 Nilo Alberto Scheidmandel Matemática 5ª sérieBibliografiaCASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.




 2 TRIMESTRE

Máximo Divisor Comum
  Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
        Alguns exemplos:
         mdc (6,12) = 6
         mdc (12,20) = 4
         mdc (20,24) = 4
         mdc (12,20,24) = 4
         mdc (6,12,15) = 3
  • CÁLCULO DO M.D.C.
            Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =       2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns =>   m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2  x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

  • CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
            Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
    Regra prática:
    1º) dividimos o número maior pelo número menor;
            48 / 30 = 1 (com resto 18)
    2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
            30 / 18 = 1 (com resto 12)
            18 / 12 = 1 (com resto 6)
            12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
    3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
  • NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
        Exemplos:
         Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
         Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
  
  • PROPRIEDADE DO M.D.C.
         Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
  6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.



Mínimo Múltiplo Comum
  • MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL
        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
        Observações importantes:
        1) Um número tem infinitos múltiplos
        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

  • MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...
            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

  • CÁLCULO DO M.M.C.
            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
                   12   =  2  x  2  x  3
                   30   =          2  x  3   x  5
        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5
        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 22  x  3
        30 = 2   x  3  x  5

        m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
   
  • PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
            Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)            Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
mmc1.jpg (4787 bytes)

  • PROPRIEDADE DO M.M.C.
         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:
mmc2.jpg (2829 bytes)
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.

         Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:
mmc3.jpg (2579 bytes)
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.


3 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO


POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo
5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :
a) 7²= 7x7=49
b) 4³= 4x4x4=64
c) 5= 5x5x5x5=625
d) 2= 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado
O expoente 3 é chamado de cubo
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado
b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo
c) 5Lê-se: cinco elevado a quarta potência
d) 2⁵ Lê-se: dois elevado a quinta potência



Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

exemplo

a) 8¹ = 8
b) 5¹ = 5
c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1

exemplo

a) 8º=1
b) 4º=1
c) 12º=1


EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4= (R: 4³)  
b) 5x5 = (R: 5²)  
c) 9x9x9x9x9= (R: 9⁵)   
d) 7x7x7x7 = (R:  7⁴)  
e) 2x2x2x2x2x2x2= (R: 2 )
f) cxcxcxcxc= (R: c⁵ ) 

3) Calcule a potência:

a) 3² = (R: 9)
b) 8² = (R: 64)
c) 2³= (R: 8)
d) 3³ = (R: 27)
e) 6³ = (R: 216)
f) 2 = (R: 16)
g) 3 = (R: 81)
h) 3 = (R: 243)
i) 1 = (R: 1)
j) 0 = (R: 0)
l) 1⁵ = (R: 1)
m) 10² = (R: 100)
n) 10³ = (R: 1000)
o) 15² = (R: 225)
p) 17² = (R: 289)
q) 30² = (R: 900)

4) Calcule as potências:

a)40² = (R: 1600)
b)32² = (R: 1024)
c)15³ = (R: 3375)
d) 30³= (R: 27000)
e) 11 = (R: 14641)
f) 300² = (R: 90000)
g) 100³ = (R: 1000000)
h) 101² = (R: 10201)

5) Calcule as Potências:

a) 11² = (R: 121)
b) 20² = (R: 400)
c) 17² =(R: 289)
d) 0² = (R: 0)
e) 0¹ = ( R: 0)
f) 1⁶ = (R: 1)
g) 10³ = (R: 1.000)
h) 470¹ = (R: 470)
i) 11³ = R: 1331)
j) 67⁰ = (R: 1)
k) 1³⁰ = (R: 1)
l) 10⁵ = (R: 100000)
m) 1⁵ = (R: 1)
n) 15³ = (R: 3375)
o) 1² = (R: 1)
p) 1001⁰= (R: 1)




RADICIAÇÃO
Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação
a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7
b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2
c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical
O índice 2 significa : raiz quadrada
O índice 3 significa: raiz cúbica
O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada


EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8


2) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)
b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = (R: 3)
b) √16 = (R: 4)
c) √25 = (R: 5)
d) √81 = (R: 9)
e) √0 = (R: 0)
f) √1 = (R: 1)
g) √64 = (R: 8)
h) √100 = (R: 10)

4) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 = (R: 10)
b) √25 + √9 = 5 + 3 = (R: 8)
c) √49 - √4 = 7 - 2 = (R: 5)
d) √36- √1 = 6 - 1 = (R: 5)
e) √9 + √100 = 3 + 10 = (R: 13)
f) √4 x √9 = 2 x 3 = (R: 6)



PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
exemplos
3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:
conservamos a base e somamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²= (R: 4⁵)
b) 7⁴ x 7⁵ = (R: 7⁹)
c) 2⁶ x 2²= (R: 2⁸)
d) 6³ x 6 = (R: 6⁴)
e) 3⁷ x 3² = (R: 3⁹)
f) 9³ x 9 = (R: 9⁴)
g) 5 x 5² = (R: 5³)
h) 7 x 7⁴ = (R: 7⁵)
i) 6 x 6 = (R: 6²)
j) 3 x 3 = (R: 3²)
l) 9² x 9⁴x 9 = (R: 9⁷)
m) 4 x 4² x 4 = (R: 4⁴)
n) 4 x 4 x 4= (R: 4³)
0) m⁰ x m x m³ = (R: m⁴)
p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = (R: 15⁹)


2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = (R: 7⁸)
b) 2² x 2⁴= (R: 2⁶)
c) 5 x 5³ = (R: 5⁴)
d) 8² x 8 = (R: 8³)
e) 3⁰ x 3⁰ = (R: 3⁰)
f) 4³ x 4 x 4² = (R: 4⁶)
g) a² x a² x a² = (R: a⁶)
h) m x m x m² = (R: m⁴)
i) x⁸ . x . x = (R: x¹⁰)
j) m . m . m = (R: m³)


Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência


a) 5⁴ : 5² = (R: 5²)
b) 8⁷ : 8³ = (R:  8⁴)
c) 9⁵ : 9² = (R: 9³)
d) 4³ : 4² = (R: 4¹)
e) 9⁶ : 9³ = (R: 9³)
f) 9⁵ : 9 = (R: 9⁴)
g) 5⁴ : 5³ = (R: 5¹)
h) 6⁶ : 6 = (R: 6⁷)
i) a⁵ : a³ = (R: a²)
j) m² : m = (R: m¹)
k) x⁸ : x = (R: x⁷)
l) a⁷ : a⁶ = (R: a¹)


2) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =
b) 7⁸ : 7³=
c) 9⁴ : 9 =
d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:

a) (5⁴)²
b) (7²)⁴
c) (3²)⁵
d) (4³)²
e) (9⁴)⁴
f) (5²)⁷
g) (6³)⁵
h) (a²)³
i) (m³)⁴
j) (m³)⁴
k) (x⁵)²
l) (a³)⁰
m) (x⁵)⁰

2) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =
b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
d) (2⁷)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)⁴ =
g) (a⁴)⁴ =
h) (m²)⁷ =


EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO


Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potenciação
2°) Multiplicações e divisões
3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) exemplo

   5 + 3² x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23

2) exemplo

 7² - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:

1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }

exemplos

1°) exemplo

   40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =
= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ]=
= 40 – 26 =
= 14

2°) exemplo

   50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =
= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=
= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =
= 50 – { 15 +12 } =
= 50 – 27 =
= 23

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)
b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 7⁰= (R:17)
e) 5⁰+ 5³= (R: 126)
f) 2³+ 2⁴ = (R: 24)
g) 10³ - 10² = (R: 900)
h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)
i) 5² - 3² = (R: 16)
j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1)


2) Calcule

a) 3² + 5 = (R: 14)
b) 3 + 5² = (R: 28)
c) 3² + 5² = (R: 34)
d) 5² - 3² = (R: 16)
e) 18 - 7⁰ = (R: 17)
f) 5³ - 2² = (R: 121)
g) 10 + 10² = (R: 110)
h) 10³ - 10² = (R: 900)
i) 10³ - 1¹ = (R: 999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)
b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )
c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)
d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R: 67)
e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)
f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)
g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)
h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)
b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)


5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)
b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R: 83)
c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)
d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)
e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)
f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)
g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)
h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488)

6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)
b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)
e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R: 13)
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172)

7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)
b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)
c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)
f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R: 79)
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )
h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)
b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)
c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)
f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)
l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)
m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)



POTENCIAÇÃO

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. 

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. 

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 
           ↓ 
Fatores iguais

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. 

Representamos uma potência da seguinte forma: 



A base sempre será o valor do fator. 
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. 
A potência é o resultado do produto.



introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}


A construção dos Números Naturais
  1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

    Exemplos: Seja m um número natural.
    (a) O sucessor de m é m+1.
    (b) O sucessor de 0 é 1.
    (c) O sucessor de 1 é 2.
    (d) O sucessor de 19 é 20.
    
  2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
    Exemplos:
    (a) 1 e 2 são números consecutivos.
    (b) 5 e 6 são números consecutivos.
    (c) 50 e 51 são números consecutivos.
    
  3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

    Exemplos:
    (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
    (b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
    (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
    
  4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
    Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
    (a) O antecessor do número m é m-1.
    (b) O antecessor de 2 é 1.
    (c) O antecessor de 56 é 55.
    (d) O antecessor de 10 é 9.
    
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}


Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.


Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.


Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
159170
852321
587587
Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
  1. Conjunto N dos números Naturais
  2. Conjunto P dos números Naturais Pares
  3. Conjunto I dos números Naturais Ímpares
  4. Conjunto E dos números Naturais menores que 16
  5. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
  6. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
  7. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10


Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.


A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.


Propriedades da Adição
  1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.
  2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
  3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
  4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.


Curiosidade: Tabela de adição
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.
012345678910
1234567891011
23456789101112
345678910111213
4567891011121314
56789101112131415
678910111213141516
7891011121314151617
89101112131415161718
910111213141516171819
1011121314151617181920
1112131415161718192021
Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.



Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.


Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.


Propriedades da multiplicação
  1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
  2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
    (m.n).p = m.(n.p)
    (3.4).5 = 3.(4.5) = 60
  3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
    1.n = n.1 = n
    1.7 = 7.1 = 7
  4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
    m.n = n.m
    3.4 = 4.3 = 12


Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48


Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.


Relações essenciais numa divisão de números naturais
  1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
    35 : 7 = 5
  2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
    35 = 5 x 7
  3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
    n ÷ 0 = q
    e isto significaria que:
    n = 0 x q = 0
    o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.


Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
43 = 4 × 4 × 4 = 64


Propriedades da Potenciação
  1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.
    Exemplos:
    1. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
    2. 13 = 1×1×1 = 1
    3. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
  2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:
    (a) nº = 1
    (b) 5º = 1
    (c) 49º = 1
    
  3. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?
  4. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:
    (a) n¹ = n
    (b) 5¹ = 5
    (c) 64¹ = 64
    
  5. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
    Exemplos:
    1. 103 = 1000
    2. 108 = 100.000.000
    3. 10o = 1


Potenciação com o browser
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta
248832
Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.


Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
1 Googol = 10100
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128partículas.
Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol


Exercícios
  1. Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.
  2. Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:
    Olá minhas 100 pombinhas.
    Uma delas respondeu:
    Não somos 100 não meu caro gavião,
    seremos 100, nós, mais dois tantos de nós
    e mais você meu caro gavião.
    Quantos pombos há neste grupo?
    
  3. Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
  4. Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.

    http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm

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